حساب مساحة الأشكال الهندسية المختلفة

الاشكال الهندسية غير المنتظمة اما ان تكون علي شكل مضلع كثير الاضلاع ولا توجد علاقات تطابق بين الزوايا او الاضلاع , ولحساب مساحة اي شكل من هذه الاشكال فاننا نلجأ الي تقسيم المضلع الي مثلثات غير متداخلة , اما اذا كانت قطعة الارض ممتدة علي شكل شرائح , فإنه يتم تقسيمها الي اشباه منحرفات

1- مساحة الاشكال غير المنتظمة بتقسيمها الي مثلثات :

وذلك باختيار احد رؤوس المضلع وتوصيل هذا الرأس بكل رؤوس المضلع ثم بقياس جميع الاضلاع يتم حساب مساحة كل مثلث علي حده , ثم يتم تجميع مساحات المثلثات المكونة لهذا الشكل فينتج المساحة الكلية للشكل

مثال :

الشكل التالي - يوضح قطعة ارض محددة بمضلع خماسي أ ب ج د ه غير منتظم وكانت أطوال اضلاعه 15 . 21 , 17 , 22 .20 متر علي الترتيب .

وزاوية أ  قائمة ,    وزاوية ب د ه = 70 ْ  , وتم رسم الخط ب د وقيس طوله فكان = 25,6 متر .

احسب مساحة قطعة الارض المحددة بهذا المضلع

الحل :

حيث إن قطعة الارض محددة بمضلع غير منتظم الشكل , لذلك يتم تقسيمها الي مثلثات , نحسب مساحة كل منها علي حدة , ثم نجمع هذه المساحات لنحصل علي المساحة الكلية لقطعة الارض :

                                        القاعدة  × الارتفاع

1- مساحة المثلث أ ب ه =  ______________________

                                                   2

                                              20  ×   15

مساحة المثلث أ ب ه =   _______________________   =  150 م2

                                                    2

                                                    1

2- مساحة المثلث ب د ه =   ______________   ×   ب د  ×  د  ه   ×  جا ب دَ ه

                                                   2

                                                 1

مساحة المثلث ب د ه    =    ____________  ×  25,60   × 22    ×   جا  70  =   264.617 م2

                                                2

                                                                        21  +  17  + 25.6

3-  مساحة المثلث ب ج د : أولا نحسب قيمة ح  =  ______________________  =     31.80 متر

                                                                                      2

                                            ___________________________

بما أن : مساحة المثلث ب ج د =  /[    ح (ح - ب ج )(ح - ج د )( ح - د ب )

                                           ____________________________

اذا : مساحة المثلث ب ج د     = /[  31.8 (31,8 - 21 )(31,8 - 17)(31,8 - 25,6)

                                           ______________________________

  مساحة المثلث  ب ج د   =      /[     31,8  ×  10,8    ×  14,8    ×  6,2

                                        

مساحة المثلث  ب ج د      =  177.522 م2

اذا مساحة الشكل أ ب ج د ه =

                    مساحة المثلث أ ب ه + مساحة المثلث ب د ه + مساحة المثلث ب ج د

اذا : مساحة الشكل أ ب ج د ه  =   150  +   264,617   +   177,522

                                      =  592,139  م2

مثال :

احسب مساحة قطعة الارض أ ب ج د ه التي قسمت الي مثلثات أ ب و , ب ج و , ه أ و 

وكانت القياسات المأخوذة في هذا الشكل من أطوال وزوايا كما هو مبين بالشكل التالي :

 الحل :

                                                               37.2    +  34.40  + 32.30

مساحة المثلث أ ب و :  أولا نحسب قيمة ح = _______________________  =  51,9 متر    

                                                                               2

                                                          ___________________________

                        مساحة المثلث  أ ب و = /[ ح ( ح-ب ج) (ح - ج د)(ح - د ب )

                                                       ________________________________________

                       مساحة المثلث أ ب و = /[   51.9 (51,9 - 37,2)(51,9 - 34,4)(51,9 - 32,30)

                                                        ________________________________

                       مساحة المثلث أ ب و =  /[     51.9      ×   17,50     ×   19,70

       

                     مساحة المثلث  أ ب و  =   512,855 م2

                                        1

مساحة المثلث ب ج و =  ________  ×  ب د  ×  د  ه  ×  جا ب د ه

                                        2

                                        1

مساحة المثلث ب ج و =   _______  34,40  × 35,15 × جا 55ْ = 495.243 م2

                                        2

مساحة المثلث ج د و  أولا نحسب قيمة ح = 35.15 +40,25 +30.10 = 52,75 متر

                                   _____________________________________

مساحة المثلث ج د و  =   /[  ح ( ح - ب ج )(ح - ج د )( ح - د - د ب )

                                  ______________________________________

مساحة المثلث ج د و =   /[  52,75 (52,75 - 35,15)(52,75 - 40,25)(52,75- 30,10)

                                 _______________________________

مساحة المثلث ج د و =  /[ 52,75  ×  17,60   ×  12,50   ×  22,65

مساحة المثلث ج د و =  512,692 م2

                                        34,70   ×   30,10

مساحة المثلث ه د و  =   _________________________  =  522,235  م2

                                                    2

                                      1

مساحة المثلث ه أ و  =  _________  ×  ب د × د ه × جا ب د ً ه

                                      2

                                      1

مساحة المثلث ه أ و  =   ________  34,70  × 32,20 ×  جا  30  40ْ  = 377,432 م2

                                      2

اذا : المساحة الكلية للأرض =

مساحة المثلث أ ب و + مساحة المثلث ب ج و + مساحة المثلث ج د و

+ مساحة المثلث خ د و + مساحة المثلث ه أ و

المساحة الكلية للأرض = 512,855 + 495,243 + 512,692 + 522.235 + 377,432

المساحة الكلية للأرض = 2420,457 م2

2- مساحة الاشكال غير المنتظمة بتقسيمها الي اشباه منحرفات

اذا كانت قطعة الارض المطلوب ايجاد مساحتها احد حدودها متعرج والحد الاخر مستقيم أو كل من حديها متعرج الشكل فإن قطعة الارض تقسم الي مجموعة من اشباه المنحرفات ونحسب مساحة كل شبه منحرف علي حده , ثم نجمع مساحات أشباه المنحرفات فنحصل علي المساحة الكلية لقطعة الارض .

مثال :

قطعة ارض كما بالشكل التالي احد حدودها متعرج الشكل والحد الاخر مستقيم أسقطت اعمده  من النقاط أ , ب , ج , د , ه  علي الحد المستقيم وكانت أطوالها كما يلي

أ أً = 15,00 م  , ب بَ = 12,00 م , ج جَ = 19,00 م  , د دَ = 14,00 م  , ه هَ = 10,00 م وكانت المسافات بين الاعمدة علي الخط القاعدة كما يلي

أَ بً = 23.00 م ,  بَ جَ = 27.00 م  , ج َ دَ = 23,00 م , دَ هَ = 28,00 م  احسب مساحة هذه القطعة

الحل:

                                              15,00 + 12,00

مساحة شبة المنحرف رقم 1 =  __________________  × 23,00 = 310,50 م2

                                                        2

                                              12,00  +  19.00

مساحة شبه المنحرف رقم 2 =  _________________  × 27.00  =  418,50  م2

                                                        2

                                              19.00  +  14.00

مساحة شبه المنحرف رقم 3 =  ________________  × 23,00  =  379,50  م2

                                                        2

                                              14,00 + 10,00

مساحة شبه المنحرف رقم 4 =  ________________  ×  28,00  = 336.00 م2

                                                        2

المساحة الكلية لقطعة الارض = 310.50  +  418,50  +  379,50  +  336,00  =  1444,50 م2

مثال أخر:

المطلوب ايجاد مساحة قطعة الارض المحصورة بين الحدين المتعرجين أ ب ج د , ك ل م ن علما بأن خط القاعدة س ص أخذ داخل قطعة الارض وأسقطت الاعمدة عليه وكانت أطوالها كما هو موضح بالشكل التالي :

الحل :

                                             3,6  + 4,0

مساحة شبه المنحرف رقم 1 =  ___________  × 15,5  =  58.90 م2

                                                    2

                                            5.8  + 3,6

مساحة شبه المنحرف رقم 2 =  __________  × 18.0    =  84.60  م2

                                                  2

                                          2.4 + 5.8

مساحة شبه المنحرف رقم 3 =  _________  × 16.5     =  67.65 م2

                                                2

                                            4.1  +  5.1

مساحة شبه المنحرف رقم 4 =   _________  ×  17.6    =  80.96  م2

                                                    2

                                          4.7  + 4.1

مساحة شبه المنحرف رقم 5 =  __________  × 15.2    = 66.88 م2

                                                 6

                                          3.5 + 4.7

مساحة شبه المنحرف رقم 6 =  _________  ×  17.2     = 70.52 م2

                                                 2

المساحة الكلية لقطعة الارض =  58.90  +  84.60  +  67.60  + 67.65  +  80. 96  +  66.88  + 70.52   =  429.51 م2

بعض القوانين الهامة جداااااااااااااااااااااااااااااا

مساحة الاشكال الهندسية

* مساحة المثلث = نصف القاعدة فى الارتفاع بمعلومية القاعدة والارتفاع

* مساحة المثلث = ح (ح-ا)(ح-ب)(ح-ج) تحت الجزر بمعلومية الاضلاع الثلاثة

ح = نصف محيط المثلث =( ا + ب + ج) مقسوما على 2

حيث ان( ا , ب , ج) هى اطوال اضلاع المثلث

* مساحة المثلث = نصف حاصل ضرب ضلعيه فى جيب الزاويه المحصوره بينهما ½ا ب جا ج = ½ ا ج جا ب = ½ ب ج جا ا

* مساحة المثلث القائم = نصف حاصل ضرب ضلعى الزاويه القائمه

*مساحة المثلث المتساوى الاضلاع = ¼ س² ×3 √ = 433.س تربيع

حيث س = طول ضلع المثلث
2- الاشكال الرباعيه

* مساحة متوازى الاضلاع = القاعدة فى الارتفاع

* مساحة شبه المنحرف = ( مجموع القاعدتين المتوازيتين على 2 ) مضروبا في الارتفاع

* مساحة المعين = نصف حاصل ضرب قطريه

* مساحة الشكل الرباعى = مجموع مساحة المثلثين الناتجين من توصيل احد قطريه

3- مساحة الاشكال الهندسيه المنتظمه

* مساحة اى شكل منتظم = نصف طول المحيط فى العمود النازل من المركز على احد الاضلاع

4- الدائرة
[/size]

*مساحة الدائرة = ط نق2

* مساحة القطاع الدائرى = (ط نق 2 ن) مقسوما على 360 حيث ن الزاويه المركزيه

القطاع الدائرى هو جزء محصور بين نصفى قطرين وقوس من الدائرة